Matematika: Sejarah Limit Matematika

SEJARAH LIMIT

Limit adalah suatu bagian dari kalkulus. Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu. Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x.

A. PERKEMBANGAN LIMIT

Kalkulus Periode Kuno

Pada zaman atau periode matematika kuno prinsip prinsip dasar kalkulus sebenarnya telah ditemukan. Belum dikenal baiknya kalkulus pada masa tersebut dikarenakan belum adanya pengembangan yang baik serta penyusunan yang sistematis akan ilmu ini. Hal ini terlihat dari perhitungan luas dan volume. Bangsa Mesir kuno telah menghitung volume frustrum piramida. Hal ini bisa terlihat dari bukti peninggalan sejarah mesir Papyrus Moskow. Pada periode ini archimedes telah mempelopori sebuah ide pemikiran dan membuat heuristik dalam menghitung volume. Bentuk tersebut sebenarnya telah menyerupai kalkulus integral yang dikenal sekarang.

Masa pertengahan

matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil tak terhingga pada tahun 499dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle". Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.

Masa modern

Meskipun termasuk secara implisit dalam pengembangan kalkulus pada abad ke-17 dan 18, gagasan modern limit fungsi baru dibahas oleh tokoh yang bernama Bolzano yang pada tahun 1817, memperkenalkan dasar-dasar teknikepsilon- delta. Namun karyanya tidak diketahui semasa hidupnya.

Augustin Louis Cauchy(1789 – 1857 )Cauchy membahas limit dalam karyanya Cours d'analyse (1821) dan tampaknya telah menyatakan intisari gagasan tersebut, tapi tidak secara sistematis.Teorema integral Cauchy ini berlaku untuk daerah terhubung sederhana dan daerah terhubung tak sederhana.

Pada mulanya Cauchy membuktikan teorema tersebut dengan memakai pembatasan bahwa f(z) mmemenuhi f’(z) juga kontinu di D (daerah). Selanjutnya Goursat membuktikan teorema tersebut dengan menghilangkan syarat tambahan (pembatasan tadi) untuk f(z). Sejak itu teorema tersebut dinamakan sebagai teorema Cauchy-Goursat

Presentasi yang cukup baik pertama kali diajukan oleh Weirstrass pada tahun 1850-an dan 1860-an, dan sejak itu telah menjadi metode baku untuk menerangkan limit.

Notasi tertulis menggunakan singkatan lim dengan anak panah diperkenalkan oleh Hardy dalam bukunya A Course of Pure Mathematics pada tahun 1908

B. TOKOH- TOKOH TYANG BEREPERAN DALAM LIMIT

1. Augustin-Louis Cauchy

Augustin-Louis Cauchy (ogysˈtɛ̃ lwi koˈʃi, lahir di Paris, Perancis, 21 Agustus 1789 – meninggal di Sceaux, 23 Mei 1857 pada umur 67 tahun) ialah seorang matematikawan Perancis.

Dididik di École Polytechnique. Karena kesehatan yang buruk ia dinasihatkan untuk memusatkan pikirannya pada matematika. Selama kariernya, ia menjabat sebagai mahaguru di École Politechnique, Sorbonne, dan Collège de France. Sumbangan-sumbangan matematikanya cemerlang dan mengejutkan jumlahnya. Produktivitasnyaamat hebat hingga Akademi Paris memilih untuk membatasi ukuran makalahnya dalam majalah ilmiah untuk mengatasi keluaran dari Cauchy.

Cauchy ialah seorang Katolik yang saleh dan pengikut Raja yang patuh. Dengan menolak bersumpah setia kepada pemerintahan Prancis yang berkuasa pada 1830, ia pindah ke Italia selama beberapa tahun dan mengajar di beberapa institusi keagamaan di Paris sampai sumpah kesetiaan dihapuskan setelah Revolusi 1848.

Cauchy memiliki perhatian yang luas. Ia mencintai puisi dan mengarang suatu naskah dalam ilmu persajakan dalam bahasa Ibrani. Keimanannya dalam beragama mengantarnya mendukung kerja sosial untuk ibu-ibu tanpa nikah dan narapidana.

Meski kalkulus diciptakan pada akhir abad ke-17, dasar-dasarnya tetap kacaudan berantakan sampai Cauchy dan rekannya Carl Friedrich Gauß, Niels Henrik Abel, dan Bernard Bolzano mengadakan ketelitian b

2. Bernard Bolzano

adalah seorang imam Katolik, tokoh filsafat agama di Universitas prague. Dia dilahirkan pada tahun 1781 dan meninggal pada 1848. Dia lahir dari pasangan Bernard Pompeius Bolzano dan Maria Cecilia Maurer. Dari tulisan ayahnya, diketahui bahwa Bernard dilahirkan di Italia Utara dan berpindah ke Prague. Bernard dibesarkan dalam tradisi kesalehan Katolik.

Karyanya yang paling penting adalah Wiscenshafttslehre, yaitu Teori Pengetahuan yang dihasilkan pada tahun 1837. Dia menolak tafsir subyektif dari kebenaran dan mendukung konsepsi tentang kebenaran ada dalam dirinya sendiri (yang ditafsir), ada dan merdeka tanpa dipengaruhi dan segala sesuatu yang diketahui atau tidak. Dia meyakini bahwa independen itu ada dan bahkan pikiran Tuhan yang Mahatahu itu juga mengakuinya. Menurut Bolzano, ada aspek-aspek unsur yang masuk akal, persepsi, proposisi, dan kesimpulan-kesimpulan. Pengetahuan diperoleh di bawah kondisi-kondisi yang membuatnya mungkin. Selalu ada kondisi-kondisi yang akan membuatnya terarah pada suatu penemuan. Ada yang benar-benar merupakan ilmu pengetahuan, dan memiliki dasar dengan prinsip-prinsip dari sains ini, ranah keseluruhan dibagi ke dalam area khusus dan dijabarkan dalam risalah.

3. Godfrey Harold “G. H.” Hardy FRS

Godfrey Harold “G. H.” Hardy FRS (lahir di Cranleigh, Surrey, 7 Februari 1877 – meninggal di Cambridge, Cambridgeshire, Inggris, 1 Desember 1947pada umur 70 tahun)^[1] adalah matematikawan Inggris terkemuka, dikenal karena pencapaiannya dalam teori bilangan dan analisis matematika.

Dia biasanya dikenal di luar bidang matematika karena esainya yang ditulis pada tahun 1940 tentang estetika matematika, A Mathematician's Apology, yang sering dianggap sebagai salah satu pandangan terbaik ke dalam pikiran seorang matematikawan profesional, yang ditulis untuk orang awam.

Sejak 1914 dia merupakan mentor matematikawan India, Srinivasa Ramanujan. Hubungan mereka kemudian menjadi terkenal. Hardy hampir seketika mengenali kecemerlangan luar biasa tanpa bimbingan Ramanujan, dan mereka kemudian menjadi kolaborator erat. Dalam wawancara oleh Paul Erdős, ketika Hardy ditanyakan apa kontribusi terbesarnya terhadap matematika, Hardy tanpa ragu-ragu menjawab "penemuan Ramanujan". Dia menyebut kolaborasi mereka sebagai "satu kejadian romantis dalam hidup saya."

4. Karl Theodor Wilhelm Weierstrass

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (Weierstraß, lahir 31 Oktober 1815 – meninggal 19 Februari 1897 pada umur 81 tahun) ialah seorang matematikawan Prusia yang mengembangkan teori lengkap tentang deret fungsi dan menyusun legitimasi operasi-operasi yang demikian sebagai pengintegralan dan pendiferensialan suku demi suku.

Terlahir sebagai warga Prusia, Weierstrass belajar hukum di Universitas Bonn namun gagal memperoleh gelar (sebagian karena kelakar minum birnya). Ia memang lulus ujian negara untuk guru dan selama 15 tahun mengajar mata pelajaran seperti mengarang dan olahraga senam., sementara mempelajari matematika di malam hari. Dari posisi yang tak dikenal di sebuah kota kecil, kemudian ia melakukan karya dalam matematika yang dapat dibandingkan dengan yang terbaik di Eropa. Sejumlah hasil yang diterbitkannya memberinya undangan untuk mengajar lebih dulu di Universitas Teknik Berlin. Dari sana pengaruhnya menyebar ke seluruh dunia matematika.

Ia adalah seorang pemikir metodis yang cermat. ia bersikeras pada ketepatan yang lengkap di semua matematika dan menetapkan pembakuan yang diakui dan ditiru hingga kini

C. PENERAPAN LIMIT DALAM PEMBELAJARAN DI SEKOLAH

Definisi limit: kita katakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati titik p adalah L apabila untuk setiap bilangan ε > 0 apapun, terdapat bilangan δ > 0, sedemikian rupanya:

Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah bilangan dx yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓, ... dan bilangan real positif apapun. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi properti Archimedes. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga.

Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat, sebaliknya ia digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu. Secara cermat, definisi limit suatu fungsi adalah:

Diberikan fungsi f(x) yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p itu sendiri. Kita mengatakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati p adalah L, dan menuliskan:

jika, untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden dengannya sedemikian rupanya untuk setiap x:

D. PENERAPAN LIMIT DALAM KEHIDUPAN SEHARI- HARI

1. Bidang Fisika

Konsep limit digunakan dalam berbagai macam bidang dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh, produksi maksimum dari mesin suatu pabrik, dapat dikatakan merupakan limit untuk pencapain hasil. Pada prakteknya, pencapaian tersebut tidak tepat, tapi mendekati sedekat dekatnya. Dalam kehidupan sehari-hari, manusia tidak pernah sadar bahwa semua yang kita lakukan itu berkaitan dengan matematika. Misalnya seperti proses jual-beli dan lain sebagainya yang erat hubungannya dengan perhitungan.

Demikian dengan limit fungsi, secara tidak sadar digunakan dalam bidang kedokteran. Seseorang yang menderita rabun jauh akan memakai kacamata lensa cekung agar dapat melihat dengan normal. Oleh karena itu, ia meminta bantuan seorang dokter. Mula-mula dokter tersebut memeriksa dan menguji jarak pandang pasien untuk mengetahui seberapa parah penyakitnya. Setelah itu, dokter tersebut harus menentukan jarak fokus lensa cekung kacamata dari pasien tersebut. Ternyata, jarak fokus lensa cekung tersebut dapat diperoleh dengan rumus dengan

f = jarak fokus lesa,

s =jarak mata ke benda dan

s’=titik jauh mata penderita.

Jadi, dengan menggunakan limit fungsi, penderita rabun jauh dapat tertolong sehingga penderita tersebut dapat melihat dengan normal kembali. Selain itu, limit fungsi berguna untuk menghitung rotasi bumi dan benda lain yang seperti elips.

2. Bidang kedokteran

Limit juga berguna untuk menghitung kerusakan jantung yang biasa ditampilkan dalam bentuk USG pada kasus cardiac carest. Pada kasus ini sang dokter hanya bisa melihat data-data dari USG tapi tidak bisa menentukan dengan cepat bagian sel mana yang rusak di jantung sementara sel jantung itu sangat banyak. Maka pada kasus ini dibutuhkan penghitungan limit untuk menebak luas area sel jantung yang rusak. Contoh lain adalah populasi bakteri atau virus dan kemungkinan berapa persen virus itu menular dengan melalui udara, area kontribusi dan kecepatan angin dihitung grafiknya melalui limit

3. Bidang Kimia

Dalam bidang ini, limit fungsi berguna untuk menghitung kekuatan besi yang bergesekan dengan air asin dan menghitung ketahanannya dalam menghadapi pengkaratan. Pembuatan tanggal kedaluarsa makanan.

4. Bidang Ekonomi

Limit fungsi sering digunakan oleh pemerintah dalam menentukkan pajak yang harus dibayar oleh masyarakat. Dalam bidang ekonomi, limit fungsi juga sering digunakan dalam menghitung biaya rata-rata dan bunga.

Setelah kalian membaca artike di atas, cobalah menjawab peretanyaan berikut ini :

1. Tentukan